德智专家：一次函数知识点

一次函数的知识总结

单元知识回顾：

① 函数的定义，一次函数和正比例函数的的基本定义

② 一次函数和正比例函数的图像和性质

③ 一次函数和正比例函数图像的平移

④ 一次函数和正比例函数的应用（1）（求围成图形的面积）

⑤ 一次函数和正比例函数的应用（2）（解应用题）

知识点 一：一次函数的基本概念。

①[知识点 一]  函数的概念

1、  变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 (变化的量)

   常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。（不变的量）

2、一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应的就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量， y是因变量。

例如，行程问题s=60t中，有两个自变量s与t，当t变化时，s也随之发生变化，并且对于t在其取值范围内的每一个值，s都有唯一确定的值与之对应，其中x是自变量， y是因变量。

【注】  判断是一次函数的条件：

  （1）有两个变量；

  （2）一个变量变化，另一个变量随之变化；

  （3）对于自变量确定的每一个值，因变量仅有一个值与之对应。

判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应

3、函数的三种表示方法：

（1）列表法:   能明显地表示出自变量的值和与之对应的函数值。

（2）图像法:   能形象直观的显示出数据变化的规律。

（3）解析法:   简明扼要、规范准确。

[知识点二] 求自变量的取值范围（常考题型总结）

函数自变量取值范围的几种确定方法：

(1)自变量以整式形式出现，取值范围为全体实数；

(2)自变量以分式形式出现，取值范围为使分母不为零的数；

(3)自变量以偶次方根形式出现，取值范围为使被开方数为非负数的数；

 自变量以奇次方根形式出现，取值范围为全体实数；

(4)自变量以零次幂形式出现，取值范围为使底数不为零的数。

(5)实际问题中，除符合以上情况外需要符合实际意义。

[知识点三]一次函数的概念与正比例函数的意义

一次函数：若两个变量x,y之间的关系式可以表示成y=kx+b（k、b 为常数，k不等于0 ）的形式，称y 是 x的一次函数。

正比例函数：形如y=kx （ k不等于0）的函数，称y 是 x的正比例函数，此时也可说 y与x 成正比例。

  正比例函数是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数。

【注】

（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.

（2）一次函数的表达式y=kx+b 是一个等式，其左边是因变量，右边是关于自变量x的等式；一次函数 （k，b为常数，b≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数.

（3）当b=0，k≠0时，y= kx仍是一次函数（正比例函数）；当b=0，k=0时，它不是一次函数.

（4）正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．

[知识点四] 函数的图像

1、函数的图像

1）、概念：一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

2）、画法

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）

第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

3）、函数的图像与关系式的关系：

（1）图象上任意一点P（x,y）中x,y满足关系式；

（2）满足关系式的任意一对x,y的值所对应的点一定在函数图象上。    

2、正比例函数图象及性质

一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零)  ① k不为零② x指数为1 ③  b取零

  当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；

  当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．

(1)  解析式：y=kx（k是常数，k≠0）

(2)  必过点：（0，0）、（1，k）

(3)  走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限

(4)  增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小

(5)  倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴

【注】直线y=kx+b与直线y=kx的位置关系

（1）  k1 ≠k2              两直线相交

 (2)   k1=k2    b不等于0      两条直线平行

（3）  k1 =k2    b等于0       两条直线重合

3、一次函数图象及性质

一般地，形如y= kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即  y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零)   ① k不为零②x指数为1  ③ b取任意实数

一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（  ，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k不等于0)        

（2）必过点：（0，b）和（-  ，0）

（3）走向：    k>0，图象经过第一、三象限；

   k<0，图象经过第二、四象限

   b>0，图象经过第一、二象限；

   b<0，图象经过第三、四象限

 k〉0  b〉0   直线经过第一、二、三象限    

 k〉0  b〈0   直线经过第一、三、四象限

 k〈0  b〉0   直线经过第一、二、四象限    

 k〈0  b〈0   直线经过第二、三、四象限

（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.

（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.

（6）图像的平移：当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；

        当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.

[知识点五] 一次函数表达式的确定

1、待定系数法的含义：要确定变量间的函数关系式，设出某些未知系数，然后根据所给条件利用方程或者是方程组来确定这些未知系数的方法。

2、用待定系数法确定一次函数表达式

（1）规律：

1.   待定系数法

2.    点斜式
   

3.    两点式

 A,设——设出一次函数解析式，即 ；

  B、代——把已知条件代入y=kx+b 中，得到关于 x、y 的方程（组）；

  C、求——解方程（组），求x 、y ；

  D、写——写出一次函数解析式．

[知识点六]平移（上加下减、左加右减）

1、规律：

（1）一次函数y=kx+b的图象可以看做是y=kx平移|b|个单位长度而得到（b>0时，向上平移，b<0时向下平移）

(2)图象上下平移与k无关，与b有关，图象向上移动b的值增加，图象向下移动b的值减小（上加下减）

(3)图象的左右平移与k，b无关，与自变量x有关系，向左移动增加，向右移动减小（左加右减）

2、注意：直线y1=k1x+b1 与直线y2=k2x+b2 的位置关系：两直线平行≒ k1=k2  ；

[知识点七] 交点问题及直线围成的面积问题

1、知识点

(1)  交点：两个一次函数图象的交点，表示此点在两直线上的横坐标相同，

纵坐标也相同。

(2)  方法：

①两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组解；

②复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）；往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高；